docs: 📝 add algorithm intro of THUAI4 and THUAI5

dependency/algorithm/README.md

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+# Algorithm
+
+---
+
+天梯分数计算算法
+
+原始记录在：<https://github.com/eesast/THUAI5/discussions/86>
+
+内容如下：
+
+## THUAI4
+
+关于根据队式每场比赛的分数映射到天梯分数的问题：  
+队式比赛为两队对战，每队得分的区间均为 [0, 2500]。
+以 tanh 函数为基础进行设计。  
+设计原则如下：  
+
+1. 输的扣少量天梯分，赢的得大量天梯分
+2. 本就有极高天梯分数的虐本就天梯分数低的，这种降维打击现象，天梯分数涨幅极小甚至不涨天梯分
+3. 如果在某场比赛中，两者表现差不多，即赢的比输的得分高得不多的话，那么天梯分数涨幅也不是很高
+4. 如果本来天梯分数很低的，赢了天梯分数很高的，那么他得到的天梯分会较高，而另一个人，天梯分数降分稍多一些
+5. 如果天梯分数低的赢了天梯分数高的，但是这场比赛赢得不多的话，会把两人的分数向中间靠拢
+6. 总体上，赢的队伍不会降天梯分；输的队伍不会加天梯分
+7. 其他条件相同的情况下，在本场游戏中得分越多，加的天梯分数也越高
+
+上述原则可以保证以下两个目的的达成：
+
+1. 总体来看，进行的游戏场次越多，所有队伍的平均天梯分数就越高
+2. 经过足够多次的游戏场次，实力有一定差距的队伍的天体分数差距逐渐拉开，实力相近的队伍的天梯分数不会差别过大，各支队伍的排名趋近于收敛
+
+用 cpp 代码编写算法代码如下（`cal` 函数）：  
+
+```cpp
+#include <iostream>
+#include <algorithm>
+#include <cmath>
+using namespace std;
+
+template <typename T>
+using mypair = pair<T, T>;
+
+// orgScore 是天梯中两队的分数；competitionScore 是这次游戏两队的得分
+
+mypair<int> cal(mypair<int> orgScore, mypair<int> competitionScore)
+{
+
+    // 调整顺序，让第一个元素成为获胜者，便于计算
+
+    bool reverse = false;    // 记录是否需要调整
+
+    if (competitionScore.first < competitionScore.second)
+    {
+        reverse = true;
+    }
+    else if (competitionScore.first == competitionScore.second)
+    {
+        if (orgScore.first == orgScore.second)      // 完全平局，不改变天梯分数
+        {
+            return orgScore;
+        }
+
+        if (orgScore.first > orgScore.second)        // 本次游戏平局，但一方天梯分数高，另一方天梯分数低，需要将两者向中间略微靠拢，因此天梯分数低的定为获胜者
+        {
+            reverse = true;
+        }
+        else
+        {
+            reverse = false;
+        }
+    }
+        
+    if (reverse)   // 如果需要换，换两者的顺序
+    {
+        swap(competitionScore.first, competitionScore.second);
+        swap(orgScore.first, orgScore.second);
+    }
+
+
+    // 转成浮点数
+    mypair<double> orgScoreLf;
+    mypair<double> competitionScoreLf;
+    orgScoreLf.first = orgScore.first;
+    orgScoreLf.second = orgScore.second;
+    competitionScoreLf.first = competitionScore.first;
+    competitionScoreLf.second = competitionScore.second;
+    mypair<int> resScore;
+
+    const double deltaWeight = 80.0;       // 差距悬殊判断参数，比赛分差超过此值就可以认定为非常悬殊了，天梯分数增量很小，防止大佬虐菜鸡的现象造成两极分化
+
+    double delta = (orgScoreLf.first - orgScoreLf.second) / deltaWeight;
+    cout << "Tanh delta: " << tanh(delta) << endl;
+    {
+
+        const double firstnerGet = 8e-5;           // 胜利者天梯得分权值
+        const double secondrGet = 5e-6;            // 失败者天梯得分权值
+
+        double deltaScore = 100.0;        // 两队竞争分差超过多少时就认为非常大
+        double correctRate = (orgScoreLf.first - orgScoreLf.second) / 100.0;       // 订正的幅度，该值越小，则在势均力敌时天梯分数改变越大
+        double correct = 0.5 * (tanh((competitionScoreLf.first - competitionScoreLf.second - deltaScore) / deltaScore - correctRate) + 1.0);      // 一场比赛中，在双方势均力敌时，减小天梯分数的改变量
+
+        resScore.first = orgScore.first + round(competitionScoreLf.first * competitionScoreLf.first * firstnerGet * (1 - tanh(delta)) * correct);  // 胜者所加天梯分
+        resScore.second = orgScore.second - round((2500.0 - competitionScoreLf.second) * (2500.0 - competitionScoreLf.second) * secondrGet * (1 - tanh(delta)) * correct);  // 败者所扣天梯分，2500 为得分的最大值（THUAI4 每场得分介于 0~2500 之间）
+    }
+
+    // 如果换过，再换回来
+    if (reverse)
+    {
+        swap(resScore.first, resScore.second);
+    }
+
+    return resScore;
+}
+```
+
+**特别注意**：此算法是在 THUAI4 的比赛直接得分封顶为 2500 分、最低不低于 0 分的前提下设计的，因此并不一定适用于 THUAI5 的情形。  
+
+## THUAI5
+
+今年把得分上限这个东西去掉了。理论上今年可以得很高很高分，但是我估计大部分比赛得分在400-600左右，最高估计1000左右。算法 借 鉴 了THUAI4,算法，换了个激活函数（正态CDF），感觉分数变化相对更好了一些？
+代码如下：
+~~~C++
+#include <iostream>
+#include <algorithm>
+#include <cmath>
+using namespace std;
+
+template <typename T>
+using mypair = pair<T, T>;
+
+double PHI(double x) // THUAI3: Sigmoid; THUAI4: Tanh; THUAI5: Normal Distribution CDF
+{
+    //double a1 = 0.2548292592;
+    //double a2 = -0.284496736;
+    //double a3 = 1.421413741;
+    //double a4 = -1.453152027;
+    //double a5 = 1.061405429;
+    //double p = 0.3275911;
+    //int sign = 1;
+    //if (x < 0)
+    //    sign = -1;
+    //x = fabs(x) / sqrt(2.0);
+    //double t = 1.0 / (1.0 + p * x);
+    //double y = 1.0 - ((((((a5 * t + a4) * t + a3) * t) + a2) * t) + a1) * t * exp(-x * x);
+    //double cdf = 0.5 * (1.0 + sign * y);
+    //return (cdf - 0.5) * 2.0; // 化到[-1,1]之间
+
+    return erf(x / sqrt(2));
+}
+
+// orgScore 是天梯中两队的分数；competitionScore 是这次游戏两队的得分
+mypair<int> cal(mypair<int> orgScore, mypair<int> competitionScore)
+{
+
+    // 调整顺序，让第一个元素成为获胜者，便于计算
+
+    bool reverse = false;    // 记录是否需要调整
+
+    if (competitionScore.first < competitionScore.second)
+    {
+        reverse = true;
+    }
+    else if (competitionScore.first == competitionScore.second)
+    {
+        if (orgScore.first == orgScore.second)      // 完全平局，不改变天梯分数
+        {
+            return orgScore;
+        }
+
+        if (orgScore.first > orgScore.second)        // 本次游戏平局，但一方天梯分数高，另一方天梯分数低，需要将两者向中间略微靠拢，因此天梯分数低的定为获胜者
+        {
+            reverse = true;
+        }
+        else
+        {
+            reverse = false;
+        }
+    }
+
+    if (reverse)   // 如果需要换，换两者的顺序
+    {
+        swap(competitionScore.first, competitionScore.second);
+        swap(orgScore.first, orgScore.second);
+    }
+
+
+    // 转成浮点数
+    mypair<double> orgScoreLf;
+    mypair<double> competitionScoreLf;
+    orgScoreLf.first = orgScore.first;
+    orgScoreLf.second = orgScore.second;
+    competitionScoreLf.first = competitionScore.first;
+    competitionScoreLf.second = competitionScore.second;
+    mypair<int> resScore;
+
+    const double deltaWeight = 90.0;       // 差距悬殊判断参数，比赛分差超过此值就可以认定为非常悬殊了，天梯分数增量很小，防止大佬虐菜鸡的现象造成两极分化
+
+    double delta = (orgScoreLf.first - orgScoreLf.second) / deltaWeight;
+    cout << "Normal CDF delta: " << PHI(delta) << endl;
+    {
+
+        const double firstnerGet = 3e-4;           // 胜利者天梯得分权值
+        const double secondrGet = 1e-4;            // 失败者天梯得分权值
+
+        double deltaScore = 100.0;        // 两队竞争分差超过多少时就认为非常大
+        double correctRate = (orgScoreLf.first - orgScoreLf.second) / 100.0;       // 订正的幅度，该值越小，则在势均力敌时天梯分数改变越大
+        double correct = 0.5 * (PHI((competitionScoreLf.first - competitionScoreLf.second - deltaScore) / deltaScore - correctRate) + 1.0);      // 一场比赛中，在双方势均力敌时，减小天梯分数的改变量
+
+        resScore.first = orgScore.first + round(competitionScoreLf.first * competitionScoreLf.first * firstnerGet * (1 - PHI(delta)) * correct);  // 胜者所加天梯分
+        if (competitionScoreLf.second < 1000)
+            resScore.second = orgScore.second - round((1000.0 - competitionScoreLf.second) * (1000.0 - competitionScoreLf.second) * secondrGet * (1 - PHI(delta)) * correct);  // 败者所扣天梯分
+        else
+            resScore.second = orgScore.second; // 败者拿1000分，已经很强了，不扣分
+    }
+
+    // 如果换过，再换回来
+    if (reverse)
+    {
+        swap(resScore.first, resScore.second);
+    }
+
+    return resScore;
+}
+
+void Print(mypair<int> score)
+{
+    std::cout << " team1: " << score.first << std::endl
+        << "team2: " << score.second << std::endl;
+}
+
+int main()
+{
+    int x, y;
+    std::cout << "origin score of team 1 and 2: " << std::endl;
+    std::cin >> x >> y;
+    auto ori = mypair<int>(x, y);
+    std::cout << "game score of team 1 and 2: " << std::endl;
+    std::cin >> x >> y;
+    auto sco = mypair<int>(x, y);
+    Print(cal(ori, sco));
+}
+
+`1000 - score`（x
+`ReLU(1000 - score)`（√
+防止真的超过了 1000）